混沌几何学的智慧 11

本系列文章预计会有30个章节，这套文献将系统讲物理学系统本身，这里是第九季第11篇

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Hello，大家好，这里是Masir的物理学第九季专栏，上一讲我们讨论了关于天气预测的问题，本篇我们开始讨论下分形的智慧与世界观。

理查德·费曼的导师大物理学家约翰·惠勒（黑洞的命名者）曾经说过，在过去，一个人如果不懂得熵是怎么回事，就不能说是科学上有教养的人。

惠勒坚信，将来“一个人如果不能同样熟悉混沌与分形，他就不能被认为是科学上的文化人”。

（约翰·惠勒）

微积分创始人之一的大数学家莱布尼茨曾设想宇宙是一个嵌套结构，由无数粒子构成，每个粒子里面有一个完整的宇宙。

宇宙会由更小的无数粒子构成，而在那每个粒子里面又会有其他更小的宇宙，这是一个无限反复的嵌套结构，即宇宙在各个层次上展现出相似的伸缩对称性。

我们把这种结构现在被称为“分形宇宙”模型。

“分形宇宙”真正是一花一世界，一叶一菩提，一粒粟中藏乾坤。到目前为止，混沌和分形虽然还没有形成精确的理论体系，但却揭示了事物的内在本质。

混沌分形理论告诉我们时空是破碎的。

分形几何最早的工作可追溯到1875年，德国数学家魏尔斯特拉斯构造了处处连续但处处不可微的函数。

集合论创始人德国数学家康托尔构造了有许多奇异性质的三分康托尔集。

1890年，意大利数学家皮亚诺构造了填充空间的曲线，如下图。

1904年，瑞典数学家柯赫设计出类似雪花和岛屿边缘的一类曲线，如下图。

1915年，波兰数学家谢尔宾斯基设计了像地毯和海绵一样的几何图形。这些都是为了分析与解决拓扑学中的问题而提出的反例，但它们正是分形几何思想的源泉，如下图。

牛顿和莱布尼茨发明微积分后的200年间，直到19世纪末还是安全的，19世纪数学界的流行观念是“连续函数必定可微”，相应的函数一般都应该有导数。

可微性是指可以逐点计算曲线的斜率，它是微积分的核心特征。

自从微积分发明之日起，就有人认为，由于该学科与运动和量的增长紧密联系，因此一个函数的连续性就足以保证导数的存在了。

1872年，魏尔斯特拉斯向柏林科学院报告了数学分析史上著名的一个反例—— 一个处处连续，但处处不可微的三角函数级数，即著名的魏尔斯特拉斯函数。

魏尔斯特拉斯函数是一种无法用笔画出任何部分的函数，因为每一点的导数都不存在，画的人无法知道每一点该朝哪个方向画。

魏尔斯特拉斯函数的每一点的斜率也是不存在的。

魏尔斯特拉斯用这个“反常”函数来说明用直觉为指导、通过运动来定义的连续曲线，不一定就会有切线。

将魏尔斯特拉斯函数在任一点放大，所得到的局部图形都和整体图形相似。

因此，无论如何放大，函数图像都不会显得更加光滑，也不存在单调的区间。为了保证逻辑正确性，魏尔斯特拉斯希望把微积分只建立在数的观念上，由此将它完全与几何分开。

魏尔斯特拉斯与柯西对导数和积分的定义结合在一起，为微积分的基本概念提供了一种精确性，这种精确构成了对微积分的严密阐述。

但就是这个“去几何化”的反例和特例，在近一个世纪后，开启了一个全新的几何时代。魏尔斯特拉斯函数可以被视为第一个分形函数，尽管这个名词当时还不存在。

1883年，集合论之父康托尔在研究集合论的时候，构造了一个奇异的集合，称为康托尔集。生成方法是把一条线段三等分，去掉中间的一份；再把两边的小线段各自三等分，也分别去掉中间；以此类推，乃至于无穷——

其结果是在欧氏零维的空间中，剩下不可数无穷多的点。

这样，康托尔集要么无穷大，要么为零，在欧氏空间中也是不可度量的，具有奇异的无标度和自相似性。

显然，康托尔集就像是散布在直线段上的一些“灰尘”，它们的数目无穷多，但总长度是零。

这种三分点集，比原来的一维线段的维数少，而比零维的点的维数又多，经计算，它的维数为0.6309。

现在我们关心的是，这条线上，只有一些点是属于康托集这个分形结构的。那怎么描述那些属于分形结构的点呢？

这里面有专门的数学，叫「p进数（p-adic number）」。你不用在乎具体的算法，关键的认识在于，分形结构上的点，不是连续的。

这你从上面图中也能看出来：两个分形点之间可以有缝隙。

我们回到前面讲过的洛伦兹吸引子。

它由一左一右两片「叶子」组成。面对这两片叶子，洛伦兹问了一个深刻的问题。

这两片叶子，到底是个什么形状？是三维的固体吗？

能用木头把它们雕刻出来吗？是二维的吗？能用纸片弯曲成它们的形状吗？

都不是。

叶子只是个大概的图像，事实上，每次轨道转回来，都是落在一个不同的平面上。

每片叶子，都是一层一层无数个平面叠加组成的。

这是一个分形结构！

正因为洛伦兹吸引子的形状是分形几何，它的轨道每次看似绕回来的时候都是绕到了另一个平面上，所以它才永远都回不到原来的位置，所以洛伦兹才证明了那个轨道没有周期性。

也许宇宙的奥秘就隐藏在这个混沌几何学之中。

好，今天就到这里，下一篇继续。